Usa la división sintética para dividir 2t³ − t − 15 entre t − 1. Indica el cociente y el resto.

Step-by-step solution

1. 1

   Rellena el término $t^2$ que falta. El dividendo es de grado tres, así que necesita cuatro coeficientes:

   $2t^3+0\cdot t^2-t-15\;\Longrightarrow\; 2,\;0,\;-1,\;-15$

   Omitir el $0$ convertiría esto en la división de $2t^2-t-15$, un problema genuinamente distinto y con otra respuesta.

2. 2

   Toma $c=1$ y predice el resto. De $t-1=t-(1)$ usamos $c=1$, y el teorema del resto da

   $f(1)=2-1-15=-14$

3. 3

   Multiplica y suma a lo largo de las cuatro columnas.

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 2 & 0 & -1 & -15\\ & & 2 & 2 & 1\\ \hline & 2 & 2 & 1 & -14\end{array}$

   Baja el $2$; $2\cdot 1=2$ y $0+2=2$; $2\cdot 1=2$ y $-1+2=1$; $1\cdot 1=1$ y $-15+1=-14$, que coincide con la predicción.

4. 4

   Lee el cociente cuadrático. Bajando un grado respecto del dividendo cúbico:

   $\text{cociente}=2t^2+2t+1,\qquad \text{resto}=-14$

5. 5

   Verifica la identidad de la división.

   $2t^3-t-15=(t-1)\left(2t^2+2t+1\right)-14$

   Desarrollando: $(t-1)(2t^2+2t+1)=2t^3+2t^2+t-2t^2-2t-1=2t^3-t-1$, y al restar $14$ queda $2t^3-t-15\;\checkmark$. El resto no nulo muestra que $t-1$ no es factor, y como $2t^2+2t+1$ tiene discriminante $4-8=-4<0$, el polinomio cúbico $2t^3-t-15$ tiene exactamente una raíz real.