Usando la fórmula general, halla las dos soluciones de 4x² + 20x + 21 = 0.

Step-by-step solution

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   Ajusta la ecuación a la forma estándar. Al comparar $4x^{2}+20x+21=0$ con $ax^{2}+bx+c=0$ resulta $a=4$, $b=20$, $c=21$. El coeficiente principal no es $1$, así que factorizar a ojo resulta incómodo y la fórmula $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ es el camino directo.

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   Calcula primero el discriminante. $b^{2}-4ac=20^{2}-4(4)(21)=400-336=64 .$ Es positivo, así que hay dos raíces reales distintas, y es un cuadrado perfecto, así que las raíces serán racionales.

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   Sustituye en la fórmula. Como $\sqrt{64}=8$ y $2a=8$, $x=\frac{-20\pm 8}{8}.$

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   Separa el signo más-menos en las dos raíces. Tomando el signo más, $x=\frac{-20+8}{8}=\frac{-12}{8}=-\frac32$. Tomando el signo menos, $x=\frac{-20-8}{8}=\frac{-28}{8}=-\frac72$.

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   Comprueba las dos raíces por sustitución. Para $x=-\frac32$: $4\cdot\frac94-30+21=9-30+21=0$. Para $x=-\frac72$: $4\cdot\frac{49}{4}-70+21=49-70+21=0$. Las dos cuadran exactamente, y su suma $-5$ coincide con $-b/a=-20/4$, mientras que su producto $\frac{21}{4}$ coincide con $c/a$.