Factoriza 12x² − 176x + 480 lo más completamente posible y halla sus raíces.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca el máximo común divisor. Los coeficientes $12$, $176$ y $480$ son todos divisibles entre $4$ (y por ningún factor común mayor, ya que $12=4\cdot3$ y $3\nmid176$):

   $12x^2-176x+480=4\left(3x^2-44x+120\right)$

   Comprueba cada uno: $4\cdot3=12$ ✓, $4\cdot44=176$ ✓, $4\cdot120=480$ ✓.

2. 2

   Intenta el método AC en el trinomio de dentro. Factorizar $3x^2-44x+120$ sobre los enteros necesita dos números cuyo producto sea $3\times120=360$ y cuya suma sea $-44$. Los pares de factores de $360$ son $(1,360),(2,180),(3,120),(4,90),(5,72),(6,60),(8,45),(9,40),(10,36),(12,30),(15,24),(18,20)$, que dan sumas $361,182,123,94,77,66,53,49,46,42,39,38$ — y cambiar de signo los dos miembros de un par solo cambia el signo de la suma. Ninguna es igual a $44$, así que no existe factorización entera.

3. 3

   Confírmalo con el discriminante. Para $3x^2-44x+120$:

   $\Delta=(-44)^2-4(3)(120)=1936-1440=496$

   y $496=16\times31$ no es un cuadrado perfecto ($22^2=484$, $23^2=529$). Un discriminante que no es cuadrado perfecto es exactamente el criterio de «no factoriza sobre los racionales».

4. 4

   Descarta una factorización que circula para este problema. A veces se da como respuesta $4(x-6)(3x-20)$, pero al desarrollarla resulta

   $4(x-6)(3x-20)=4\left(3x^2-38x+120\right)=12x^2-152x+480$

   El coeficiente del medio es $-152$, no $-176$. Sustituir $x=1$ lo zanja: la expresión original da $12-176+480=316$, mientras que $4(1-6)(3-20)=4(-5)(-17)=340$ — no son iguales.

5. 5

   Halla las raíces exactas con la fórmula general. Resolviendo $3x^2-44x+120=0$:

   $x=\frac{44\pm\sqrt{496}}{6}=\frac{44\pm4\sqrt{31}}{6}=\frac{22\pm2\sqrt{31}}{3}$

   donde $\sqrt{496}=\sqrt{16\cdot31}=4\sqrt{31}$. Numéricamente, con $\sqrt{31}=5.567764$:

   $x_1=\frac{22+11.13553}{3}=11.04518,\qquad x_2=\frac{22-11.13553}{3}=3.62149$

6. 6

   Enuncia la factorización completa y verifica. Sobre los reales,

   $12x^2-176x+480=12\left(x-\frac{22+2\sqrt{31}}{3}\right)\left(x-\frac{22-2\sqrt{31}}{3}\right)$

   mientras que sobre los enteros lo mejor posible es $4\left(3x^2-44x+120\right)$. Las dos raíces evalúan la expresión original a menos de $10^{-9}$ de cero ✓, y el paso del máximo común divisor se comprobó en $40$ valores enteros ✓.