Para conjuntos cualesquiera A, B y C, decide si complemento[(A − B) ∪ (B − A)] − [(A ∩ B) − complemento(C)] es igual a [(A ∩ B) − C] ∪ complemento(A ∪ B). Demuéstralo o da un contraejemplo.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe cada diferencia como una intersección con un complemento. La única regla $X-Y=X\cap\overline{Y}$ vuelve mecánico todo el enunciado:

   $A-B=A\cap\overline{B},\qquad B-A=B\cap\overline{A}$

   de modo que $(A-B)\cup(B-A)$ es la diferencia simétrica $A\triangle B$ — los elementos que están exactamente en uno de los dos, $A$ o $B$.

2. 2

   Complementa la diferencia simétrica. Un elemento deja de estar en exactamente uno de $A,B$ precisamente cuando está en los dos o en ninguno:

   $\overline{A\triangle B}=(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}$

   Este es el corazón estructural de la demostración, y las dos piezas del miembro derecho de la identidad buscada ya se ven aquí.

3. 3

   Simplifica el conjunto que se elimina. Usando $\overline{\overline{C}}=C$,

   $(A\cap B)-\overline{C}=(A\cap B)\cap\overline{\overline{C}}=A\cap B\cap C$

   Así que el miembro izquierdo es

   $\Big[(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}\Big]-\big(A\cap B\cap C\big)$

4. 4

   Distribuye la eliminación sobre la unión. La diferencia de conjuntos distribuye sobre la unión, $(X\cup Y)-Z=(X-Z)\cup(Y-Z)$, lo que da

   $\big[(A\cap B)-(A\cap B\cap C)\big]\cup\big[\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)\big]$

5. 5

   Simplifica cada pieza. En la primera, quitar $A\cap B\cap C$ de $A\cap B$ elimina exactamente la parte que está dentro de $C$:

   $(A\cap B)-(A\cap B\cap C)=(A\cap B)-C$

   En la segunda, $\overline{(A\cup B)}$ es disjunto de $A\cap B$ (y por tanto de $A\cap B\cap C$), así que quitar ese conjunto no cambia nada:

   $\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)=\overline{(A\cup B)}$

6. 6

   Concluye. Juntando de nuevo las dos piezas,

   $\text{Izquierda}=\big[(A\cap B)-C\big]\cup\overline{(A\cup B)}=\text{Derecha}$

   $\boxed{\text{La identidad es cierta para todos los conjuntos }A,B,C}$

   Fíjate en que no hizo falta ninguna hipótesis adicional sobre los conjuntos — la identidad se cumple sin ninguna condición.

7. 7

   Verifica con una comprobación exhaustiva de pertenencia. Cada elemento cae en una de las $8$ regiones según esté o no en $A$, en $B$ y en $C$. Probando las ocho: un elemento de $A\cap B$ pertenece a los dos miembros si y solo si está fuera de $C$; un elemento de fuera de $A\cup B$ pertenece siempre a los dos miembros; un elemento que está exactamente en uno de $A,B$ no pertenece a ninguno de los dos (queda excluido por el complemento de la diferencia simétrica en el miembro izquierdo, y no está en ninguna de las dos piezas del derecho). Los ocho casos coinciden, lo que confirma el álgebra.