Simplifica (3^5 · 27^3 · 9^4)/(3 · 81^4), dando la respuesta como potencia de 3 y como número entero.

Step-by-step solution

1. 1

   Lleva todo a una sola base. Las leyes de los exponentes solo combinan potencias que comparten la base, y $27$, $9$ y $81$ son todas potencias de $3$:

   $27=3^{3},\qquad 9=3^{2},\qquad 81=3^{4}.$

2. 2

   Reescribe cada factor con la regla de la potencia de una potencia. Se multiplican los exponentes:

   $27^{3}=\left(3^{3}\right)^{3}=3^{9},\qquad 9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{8},\qquad 81^{4}=\left(3^{4}\right)^{4}=3^{16}.$

3. 3

   Reúne por separado el numerador y el denominador. Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes:

   $\text{numerador}=3^{5}\cdot 3^{9}\cdot 3^{8}=3^{5+9+8}=3^{22},$

   $\text{denominador}=3^{1}\cdot 3^{16}=3^{1+16}=3^{17}.$

   El $3$ solitario cuenta como $3^1$ — olvidar ese exponente es el descuido de siempre aquí.

4. 4

   Divide restando los exponentes.

   $\frac{3^{22}}{3^{17}}=3^{22-17}=3^{5}.$

5. 5

   Evalúa y verifica. $3^{5}=243$. Como comprobación, los enteros en crudo son $3^5\cdot27^3\cdot9^4=243\cdot19683\cdot6561=31\,381\,059\,609$ y $3\cdot81^4=3\cdot43\,046\,721=129\,140\,163$; al dividir se obtiene exactamente $243$.