Resolver la inecuación -2x² + 8 ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Aísla el término al cuadrado. Resta $8$ a ambos miembros:

   $-2x^{2}\le-8$

2. 2

   Divide entre $-2$ e invierte la desigualdad. Dividir (o multiplicar) una desigualdad por un número negativo invierte su sentido: esa es la única regla que gobierna este problema:

   $x^{2}\ge4$

   Mantener aquí el $\le$ daría la respuesta exactamente equivocada $-2\le x\le2$, así que la inversión no es opcional.

3. 3

   Resuelve $x^{2}\ge4$ como un enunciado sobre distancias. Como $x^{2}=|x|^{2}$, la condición es $|x|\ge2$: el punto $x$ está a $2$ o más del origen. Eso se cumple en las dos semirrectas fuera de $[-2,2]$, no entre ellas:

   $x\le-2\qquad\text{o}\qquad x\ge2$

4. 4

   Escribe el conjunto solución.

   $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$

   Los dos extremos están incluidos: en $x=\pm2$ se tiene $-2(4)+8=0$, y $0\le0$ es cierto ✓.

5. 5

   Confírmalo con la gráfica y con pruebas. $y=-2x^{2}+8$ es una parábola hacia abajo con raíces en $\pm2$ y vértice $(0,8)$; vale cero o menos exactamente fuera de las raíces. Probando: $x=0$ da $8\le0$ ✗ (excluido correctamente), $x=3$ da $-18+8=-10\le0$ ✓ y $x=-3$ da $-10\le0$ ✓. La desigualdad original y el conjunto propuesto coinciden en $51$ puntos racionales exactos ✓.