La ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 cumple a − 2b + 4c = 0 y tiene dos raíces reales iguales. ¿Cuál conclusión es correcta: a = b, a = c, b = c o c = 4a?

Step-by-step solution

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   Traducir «dos raíces reales iguales» al álgebra. Una cuadrática tiene una raíz doble exactamente cuando su discriminante se anula:

   $\Delta=b^2-4ac=0\ \Longrightarrow\ b^2=4ac$

   (Implícitamente $a\neq 0$, pues de lo contrario la ecuación no sería cuadrática.)

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   Reordenar la relación lineal dada para despejar $b$. De $a-2b+4c=0$:

   $2b=a+4c\ \Longrightarrow\ b=\frac{a+4c}{2}$

   El factor $2$ delante de $b$ es una pista deliberada de que $b$ es la incógnita que hay que eliminar.

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   Sustituir en la condición del discriminante.

   $\left(\frac{a+4c}{2}\right)^2=4ac$

   Se multiplican ambos lados por $4$:

   $(a+4c)^2=16ac$

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   Desarrollar y reconocer un cuadrado perfecto.

   $a^2+8ac+16c^2=16ac$

   $a^2-8ac+16c^2=0$

   $(a-4c)^2=0\ \Longrightarrow\ a=4c$

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   Dar un paso más para llegar a una de las opciones ofrecidas. La relación $a=4c$ no figura entre las opciones, así que se sustituye de vuelta en $2b=a+4c$:

   $2b=4c+4c=8c\ \Longrightarrow\ b=4c$

   Como $a=4c$ y $b=4c$, se concluye que $a=b$: la opción (A).

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   Verificar con un ejemplo concreto. Se toma $c=1$, de modo que $a=b=4$: la ecuación es $4x^2+4x+1=0$. Su discriminante vale $4^2-4(4)(1)=16-16=0$ $\checkmark$ (raíz doble $x=-\\tfrac12$), y la condición adicional da $4-2(4)+4(1)=4-8+4=0$ $\checkmark$. Nótese que $c=4a$ (opción D) diría $1=16$, que es falso: la relación correcta va en el otro sentido, $a=4c$.