Resuelve la desigualdad x² − 2x > 3.

Step-by-step solution

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   Pasa todo a un mismo lado. El análisis de signos solo funciona una vez que la desigualdad compara una expresión con cero:

   $x^2-2x-3>0$

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   Factoriza la cuadrática. Dos números con producto $-3$ y suma $-2$ son $-3$ y $1$:

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)>0$

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   Localiza los puntos críticos. Los factores se anulan en $x=3$ y $x=-1$, lo que divide la recta en tres intervalos: $(-\infty,-1)$, $(-1,3)$ y $(3,\infty)$.

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   Determina el signo en cada intervalo. Para $x<-1$ los dos factores son negativos, así que el producto es positivo; entre las raíces los factores tienen signos opuestos, así que el producto es negativo; para $x>3$ los dos son positivos. La misma conclusión sale de la forma de la curva: una parábola que abre hacia arriba queda por encima del eje fuera de sus raíces.

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   Escribe la solución y compruébala. Queremos que el producto sea positivo, así que

   $x<-1\quad\text{o}\quad x>3,\qquad\text{es decir, }(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

   Prueba con $x=-2$: $4+4=8>3$ $\checkmark$. Prueba con $x=0$: $0>3$ es falso $\checkmark$. Prueba con $x=4$: $16-8=8>3$ $\checkmark$. Los extremos quedan excluidos porque allí $x^2-2x=3$ exactamente.