Expresa el dominio de f(x) = x / (raíz cúbica de (x² − 36)) en notación de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   Decide qué restringe la raíz cúbica. Las raíces de índice impar están definidas para toda entrada real: $\sqrt[3]{-8} = -2$ es perfectamente legítimo. Así que, a diferencia de una raíz cuadrada, $\sqrt[3]{x^2-36}$ no impone ninguna condición de signo sobre $x^2 - 36$. Tratarla como una raíz cuadrada y exigir $x^2 \ge 36$ es el error clásico aquí.

2. 2

   Halla dónde se anula el denominador. La única restricción verdadera es la división por cero, y $\sqrt[3]{A} = 0$ exactamente cuando $A = 0$:

   $x^2 - 36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 6$

3. 3

   Excluye esos dos puntos. Quitar $-6$ y $6$ de $\mathbb{R}$ deja

   $(-\infty,-6) \cup (-6,6) \cup (6,\infty)$

4. 4

   Confirma con un valor donde una raíz cuadrada fallaría. En $x = 0$ el radicando es $-36$, y $\sqrt[3]{-36} = -3.301927$, así que $f(0) = \tfrac{0}{-3.301927} = 0$: está definida. Una versión de esta función con raíz cuadrada habría excluido todo el intervalo $(-6,6)$.

5. 5

   Revisa el comportamiento cerca de los puntos excluidos. Cuando $x \to 6^{-}$, $x^2 - 36 \to 0^{-}$ y la raíz cúbica tiende a $0$ por debajo, así que $f(x) \to -\infty$; por la derecha tiende a $+\infty$. Ambas son asíntotas verticales genuinas, lo que confirma que $x = \pm6$ hay que excluirlos y no se pueden remendar.