Factoriza por completo x³ + 3x² − 4x − 12.

Step-by-step solution

1. 1

   Elegir la agrupación para una cúbica de cuatro términos. No hay ningún factor común a los cuatro términos, así que se separan en dos parejas esperando que cada pareja deje el mismo binomio. Eso es exactamente lo que ocurre aquí.

2. 2

   Agrupar y factorizar cada pareja.

   $\left(x^3+3x^2\right)+\left(-4x-12\right)=x^2(x+3)-4(x+3)$

   Sacar $-4$ (y no $+4$) de la segunda pareja es lo que hace coincidir los binomios; tomando $+4$ quedaría $(-x-3)$ en su lugar.

3. 3

   Sacar como factor el binomio común.

   $x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)\left(x^2-4\right)$

4. 4

   Terminar con la diferencia de cuadrados. Como $x^2-4=x^2-2^2$:

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   de modo que

   $x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2)$

   Detenerse en $(x+3)(x^2-4)$ es la forma más común de perder puntos en este ejercicio.

5. 5

   Leer las raíces. La expresión vale cero en $x=-3,\ 2,\ -2$: tres raíces reales distintas, todas las que puede tener una cúbica.

6. 6

   Verificar desarrollando. Comparar el original con el producto triple en cada entero desde $-30$ hasta $29$ da coincidencia exacta ✓. Comprobación puntual en $x=1$: $1+3-4-12=-12$, y $(4)(-1)(3)=-12$ ✓.