Sean a = λ − 2024 y b = √(4 − (λ − 2024)²). Halla todos los λ reales para los que a y b son números reales.

Step-by-step solution

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   Observar que solo una de las dos expresiones impone restricciones. $a=\lambda-2024$ es un polinomio en $\lambda$, así que es real para todo $\lambda$ real — no impone ninguna condición. Toda la información está en $b$, porque la raíz cuadrada de un número negativo no es real.

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   Escribir la condición sobre el radicando. Para que $b$ sea real,

   $4-(\lambda-2024)^2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad (\lambda-2024)^2\le 4$

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   Convertir la desigualdad con cuadrado en una de valor absoluto. Para cualquier real $t$, $t^2\le 4$ equivale a $|t|\le 2$, es decir $-2\le t\le 2$. Con $t=\lambda-2024$:

   $-2\le \lambda-2024\le 2$

   Sumando $2024$ en toda la cadena (lo que nunca invierte una desigualdad) queda

   $2022\le \lambda\le 2026$

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   Comprobar los extremos y un punto interior. En $\lambda=2022$: $4-(-2)^2=0$, así que $b=0$ — real, y el extremo se incluye. Lo mismo en $\lambda=2026$. En $\lambda=2027$: $4-3^2=-5<0$, así que $b$ sería imaginario y ese valor queda correctamente excluido. En el centro $\lambda=2024$: $b=\sqrt{4}=2$, el mayor valor que puede alcanzar $b$.

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   Leer la geometría que hay detrás de la respuesta. Combinando las dos definiciones,

   $a^2+b^2=(\lambda-2024)^2+\left(4-(\lambda-2024)^2\right)=4$

   así que $(a,b)$ siempre está sobre la circunferencia de radio $2$ centrada en el origen — y, como la raíz cuadrada principal es no negativa, sobre su mitad superior. Por eso $a=\lambda-2024$ solo puede recorrer $[-2,2]$: es la coordenada horizontal de un punto de una circunferencia de radio $2$. La respuesta es el intervalo

   $\lambda\in[2022,\,2026]$