Resuelve la ecuación 3x² + 5x - 6 = 0.

Step-by-step solution

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   Identifica los coeficientes. Leyendo la forma estándar $ax^{2}+bx+c=0$:

   $a=3,\qquad b=5,\qquad c=-6$

   Fíjate en que $c=-6$ conserva su signo menos: arrastrarlo correctamente hasta el discriminante es el nudo del problema.

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   Calcula primero el discriminante.

   $\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4(3)(-6)=25+72=97$

   Dos negativos hacen que el término $-4ac$ sea positivo, $72$. Como $\Delta=97>0$ hay dos raíces reales distintas, pero $97$ es primo — así que no es un cuadrado perfecto, las raíces son irracionales y no existe ninguna factorización entera de $3x^{2}+5x-6$.

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   Sustituye en la fórmula general.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{2(3)}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{6}$

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   Comprueba que ya no simplifica más. $97$ no tiene factores cuadrados, así que $\sqrt{97}$ no se puede reducir; y $-5$, $1$ y $6$ no comparten ningún factor, de modo que la fracción se queda tal cual. Las dos raíces son

   $x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}\approx0.808143,\qquad x=\frac{-5-\sqrt{97}}{6}\approx-2.474810$

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   Verifica con Cardano-Vieta y por sustitución. Las raíces deben sumar $-b/a=-\tfrac53$: $\dfrac{-5+\sqrt{97}}{6}+\dfrac{-5-\sqrt{97}}{6}=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac53$ ✓. Y su producto debe ser $c/a=-2$: $\dfrac{25-97}{36}=\dfrac{-72}{36}=-2$ ✓. Al sustituir cualquiera de las raíces en $3x^{2}+5x-6$ el residuo queda por debajo de $10^{-11}$ ✓.