Resuelve -4.4912x² - 0.5182x + 30.066 = 0 para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca el coeficiente principal como factor de los dos primeros términos.

   $-4.4912\left(x^2+\frac{0.5182}{4.4912}x\right)+30.066=-4.4912\left(x^2+0.115381x\right)+30.066$

   Solo los términos en $x^2$ y en $x$ entran en el paréntesis; la constante se queda fuera, que es lo que mantiene ordenada la contabilidad.

2. 2

   Completa el cuadrado dentro del paréntesis. La mitad del coeficiente lineal es $0.05769059$, y su cuadrado es $0.00332820$:

   $x^2+0.115381x=\left(x+0.05769059\right)^2-0.00332820$

3. 3

   Vuelve a repartir el coeficiente principal.

   $-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+4.4912(0.00332820)+30.066=-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+30.08095$

   Esta es la forma canónica: la parábola alcanza su máximo en $\left(-0.05769,\,30.08095\right)$. Como el máximo es positivo y la parábola abre hacia abajo, forzosamente existen dos raíces reales.

4. 4

   Despeja $x$ en la forma canónica.

   $\left(x+0.05769059\right)^2=\frac{30.08095}{4.4912}=6.697753\;\Longrightarrow\;x+0.05769059=\pm 2.588002$

   $x=-0.05769059\pm 2.588002$

5. 5

   Evalúa y comprueba.

   $x_1=-2.64569,\qquad x_2=2.53031$

   Cardano-Vieta confirma las dos: la suma debe valer $-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-0.5182}{-4.4912}=-0.11538$, y $-2.64569+2.53031=-0.11538\;\checkmark$; el producto debe valer $\tfrac{c}{a}=\tfrac{30.066}{-4.4912}=-6.69442$, y $(-2.64569)(2.53031)=-6.69442\;\checkmark$. Las raíces son simétricas respecto de la abscisa del vértice $-0.05769$, exactamente como predice la forma canónica.