Resuelve la inecuación 7|w − 6| ≥ 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Aísla el valor absoluto antes de separar nada. Las reglas de reescritura de $|A|$ solo valen cuando el valor absoluto está solo. Aquí aparece multiplicado por $7$, así que divide ambos lados entre el número positivo $7$ (sin cambio de signo):

   $|w-6|\ge\frac{2}{7}$

2. 2

   Separa un valor absoluto «mayor o igual» en dos semirrectas. $|A|\ge b$ con $b>0$ dice que la distancia de $A$ a $0$ es al menos $b$, lo cual ocurre en los dos lados alejados del origen, no entre ellos:

   $w-6\le-\frac{2}{7}\qquad\text{o}\qquad w-6\ge\frac{2}{7}$

   La palabra es o, nunca y: ningún $w$ puede estar a la vez muy a la izquierda y muy a la derecha.

3. 3

   Resuelve cada rama sumando 6. Convierte $6$ a séptimos para que las fracciones se combinen sin estorbos, $6=\tfrac{42}{7}$:

   $w\le\frac{42}{7}-\frac{2}{7}=\frac{40}{7}\qquad\text{o}\qquad w\ge\frac{42}{7}+\frac{2}{7}=\frac{44}{7}$

4. 4

   Escribe el conjunto solución. En notación de intervalos

   $\left(-\infty,\tfrac{40}{7}\right]\cup\left[\tfrac{44}{7},\infty\right)$

   Los dos extremos quedan incluidos porque la relación original permitía la igualdad. Numéricamente, el hueco excluido es el corto intervalo abierto $(5.714\ldots,\,6.285\ldots)$ centrado en $w=6$.

5. 5

   Verifica el extremo y el hueco. En $w=\tfrac{40}{7}$: $7\left|\tfrac{40}{7}-6\right|=7\cdot\tfrac{2}{7}=2\ge2$ ✓ (igualdad, así que el extremo pertenece al conjunto). En el centro $w=6$: $7|0|=0$, que no es $\ge2$ ✗, lo que confirma el hueco. Comparar la inecuación original con el conjunto propuesto en $500$ puntos racionales exactos coincide en todos ellos ✓.