Resuelve la inecuación (1.5 + 0.1x)(800 − 20x) − 0.9(800 − 20x) mayor o igual que 720.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta el paréntesis repetido y sácalo como factor común. Los dos términos de la izquierda contienen $(800-20x)$, así que extráelo en vez de desarrollar dos veces:

   $\left(800-20x\right)\left[\left(1.5+0.1x\right)-0.9\right]=\left(800-20x\right)\left(0.6+0.1x\right).$

   En el contexto original, $(1.5+0.1x)-0.9$ es el beneficio por unidad y $(800-20x)$ es el número de unidades vendidas.

2. 2

   Desarrolla el producto.

   $\left(0.6+0.1x\right)\left(800-20x\right)=480-12x+80x-2x^{2}=-2x^{2}+68x+480.$

3. 3

   Pasa todo a un mismo miembro.

   $-2x^{2}+68x+480\ge 720\ \Longrightarrow\ -2x^{2}+68x-240\ge 0.$

4. 4

   Divide entre −2 e invierte el signo de la desigualdad. Dividir una desigualdad entre un número negativo la invierte — el paso que más se olvida aquí:

   $x^{2}-34x+120\le 0.$

5. 5

   Halla las raíces y lee el intervalo.

   $x=\frac{34\pm\sqrt{1156-480}}{2}=\frac{34\pm\sqrt{676}}{2}=\frac{34\pm 26}{2}=4\ \text{o}\ 30.$

   Una parábola que abre hacia arriba es $\le 0$ entre sus raíces, así que

   $4\le x\le 30.$

6. 6

   Comprueba los extremos y un punto interior. En $x=4$: $(1.9)(720)-0.9(720)=(1.0)(720)=720$, exactamente el umbral ✓. En $x=17$ (el vértice): $(3.2)(460)-0.9(460)=(2.3)(460)=1058\ge 720$ ✓. En $x=31$: $(4.6)(180)-0.9(180)=(3.7)(180)=666<720$, correctamente fuera.