Racionalizar el denominador y simplificar la expresión 2 dividido entre la cantidad raíz cuadrada de 7 más raíz cuadrada de 2.

Step-by-step solution

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   Ver por qué una sola multiplicación no funciona. Multiplicar arriba y abajo solo por $\sqrt{7}$ deja $\sqrt{14}$ en el denominador. Una suma de dos radicales distintos necesita el conjugado, porque solo el patrón de la diferencia de cuadrados elimina ambas raíces a la vez.

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   Multiplicar por el conjugado dividido entre sí mismo. El conjugado de $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ es $\sqrt{7}-\sqrt{2}$. Multiplicar por $\dfrac{\sqrt7-\sqrt2}{\sqrt7-\sqrt2}$ es multiplicar por $1$, así que el valor no cambia:

   $\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

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   Desarrollar el denominador con $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Los términos cruzados se cancelan, que es justamente el objetivo:

   $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = (\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2 = 7-2 = 5$

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   Distribuir en el numerador.

   $2(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$

   El resultado es $\dfrac{2\sqrt7-2\sqrt2}{5}$.

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   Comprobar si se puede reducir más. El máximo común divisor de $2$, $2$ y $5$ es $1$, así que no se cancela nada; también se puede escribir como $\dfrac{2(\sqrt7-\sqrt2)}{5}$.

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   Verificar numéricamente. $\sqrt7\approx2.6458$ y $\sqrt2\approx1.4142$, de modo que la expresión original vale $\tfrac{2}{4.0600}\approx0.4926$, y la respuesta da $\tfrac{2(1.2316)}{5}\approx0.4926$. Coinciden.