Dados z = 2 + i, u = 3 − 2i y v = −1/2 − (√3)/2 i, evalúa z² − 3u³ + 2v y da la respuesta en la forma a + bi.

Step-by-step solution

1. 1

   Eleva z al cuadrado. Usa $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ con $i^{2}=-1$:

   $z^{2}=(2+i)^{2}=4+4i+i^{2}=4+4i-1=3+4i.$

2. 2

   Eleva u al cubo en dos etapas. Primero al cuadrado:

   $u^{2}=(3-2i)^{2}=9-12i+4i^{2}=9-12i-4=5-12i.$

   Después multiplica otra vez por $u$:

   $u^{3}=(5-12i)(3-2i)=15-10i-36i+24i^{2}=15-46i-24=-9-46i.$

   Elevar al cuadrado y luego multiplicar es mucho menos propenso a errores que desarrollar de golpe el cubo de un binomio.

3. 3

   Multiplica por los coeficientes. Distribuye el $-3$ entre las dos partes:

   $-3u^{3}=-3(-9-46i)=27+138i.$

   Y

   $2v=2\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}\,i.$

4. 4

   Suma las partes reales.

   $3+27-1=29.$

5. 5

   Suma las partes imaginarias. Estas no se fusionan en un solo decimal, porque una de ellas arrastra un radical:

   $4+138-\sqrt{3}=142-\sqrt{3}.$

6. 6

   Escribe la respuesta y comprueba su tamaño.

   $z^{2}-3u^{3}+2v=29+\left(142-\sqrt{3}\right)i\approx 29+140.268\,i.$

   El término $u^3$ domina, como era de esperar: $|u|=\sqrt{13}$, así que $|u^{3}|=13\sqrt{13}\approx 46.9$ y $|-3u^3|\approx 140.6$, muchísimo mayor que $|z^2|=5$ o $|2v|=2$. De paso, $v$ tiene módulo $1$ y argumento $-\tfrac{2\pi}{3}$, así que es una raíz cúbica primitiva de la unidad.