Desarrollar (4√3 a + √3 a²)².

Step-by-step solution

1. 1

   Saca la parte común del paréntesis antes de elevar al cuadrado. Los dos términos comparten $\sqrt3\,a$:

   $4\sqrt3\,a+\sqrt3\,a^{2}=\sqrt3\,a\left(4+a\right).$

   Esto es mucho más limpio que aplicar la fórmula de $(u+v)^2$ a dos términos con radical.

2. 2

   Eleva al cuadrado la forma factorizada. El cuadrado se distribuye sobre un producto:

   $\left(\sqrt3\,a(a+4)\right)^{2}=\left(\sqrt3\right)^{2}a^{2}(a+4)^{2}=3a^{2}(a+4)^{2}.$

   Elevar al cuadrado es justo lo que hace desaparecer el radical: $\left(\sqrt3\right)^2=3$.

3. 3

   Desarrolla el cuadrado que queda.

   $(a+4)^{2}=a^{2}+8a+16.$

4. 4

   Multiplica todo por 3a^2.

   $3a^{2}\left(a^{2}+8a+16\right)=3a^{4}+24a^{3}+48a^{2}.$

5. 5

   Contrasta con el desarrollo directo. Usando $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$ con $u=4\sqrt3 a$ y $v=\sqrt3 a^2$:

   $u^{2}=48a^{2},\qquad 2uv=2\cdot 4\sqrt3 a\cdot\sqrt3 a^{2}=24a^{3},\qquad v^{2}=3a^{4},$

   que suma el mismo $3a^4+24a^3+48a^2$. Fíjate en que el término central también pierde su radical, porque $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$.