Escribe la fracción 81/16 como una potencia. ¿Qué base y qué exponente sirven, y es 81/16 una potencia de algún número entero?

Step-by-step solution

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   Factoriza el numerador y el denominador como potencias de primos. Dividiendo repetidamente se obtiene

   $81=3\cdot 27=3\cdot 3\cdot 9=3^{4},\qquad 16=2\cdot 8=2\cdot 2\cdot 4=2^{4}.$

   La razón de factorizar primero es ver si los dos exponentes coinciden: esa es exactamente la condición para que la fracción sea una sola potencia.

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   Usa al revés la identidad del cociente de potencias. Como los dos exponentes valen $4$, la ley $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ se aplica directamente:

   $\frac{81}{16}=\frac{3^{4}}{2^{4}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   Casi todo el mundo conoce esta identidad de izquierda a derecha; leerla de derecha a izquierda es lo que convierte una fracción en una potencia.

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   Comprueba si el exponente se puede reducir. ¿Se podría escribir $\tfrac{81}{16}$ también con un exponente menor, por ejemplo como un cuadrado? Eso exigiría $\left(\tfrac{3}{2}\right)^{4}=t^{2}$ con $t=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac94$, de modo que efectivamente

   $\frac{81}{16}=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   Las dos formas son correctas; $\left(\tfrac32\right)^{4}$ es la de base más pequeña, y el exponente $4$ es el mayor posible porque $3$ y $2$ son primos.

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   Responde a la parte de «potencia de un número entero». En decimal, $\tfrac{81}{16}=5.0625$, que no es un entero, así que no puede ser igual a $m^{k}$ con $m$ y $k\ge 1$ enteros. La base tiene que ser fraccionaria por fuerza: una fracción irreducible es una potencia entera solo si su denominador es $1$.

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   Verifica de forma exacta, no con decimales. Calculando $\left(\tfrac32\right)^{4}$ con fracciones: $\tfrac32\cdot\tfrac32=\tfrac94$, y $\tfrac94\cdot\tfrac94=\tfrac{81}{16}$ ✓. Hacer la comprobación con fracciones exactas en lugar de con $1.5^{4}=5.0625$ evita cualquier duda de redondeo.