Resolver la ecuación x² − 6x − 5 = 0.

Step-by-step solution

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   Identifica los coeficientes y tantea la factorización. Aquí $a=1$, $b=-6$, $c=-5$. Factorizar sobre los enteros exigiría dos números de producto $-5$ y suma $-6$; las únicas parejas enteras para $-5$ son $(1,-5)$ y $(5,-1)$, con sumas $-4$ y $4$, y ninguna es $-6$. Así que las raíces no son enteras y hace falta la fórmula.

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   Calcula el discriminante.

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4(1)(-5)=36+20=56$

   El término $-4ac$ se vuelve $+20$ porque $c$ es negativo: los deslices de signo aquí son la causa más frecuente de una respuesta equivocada. Como $\Delta=56>0$ pero no es un cuadrado perfecto, hay que esperar dos raíces irracionales.

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   Sustituye en la fórmula general.

   $x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{56}}{2(1)}=\frac{6\pm\sqrt{56}}{2}$

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   Simplifica el radical y después cancela. Extrae el mayor factor cuadrado: $56=4\cdot14$, así que $\sqrt{56}=2\sqrt{14}$. Ahora el factor común $2$ queda a la vista:

   $x=\frac{6\pm2\sqrt{14}}{2}=\frac{2\left(3\pm\sqrt{14}\right)}{2}=3\pm\sqrt{14}$

   El $2$ debe cancelarse con ambos términos del numerador; cancelarlo solo contra el $6$ daría el resultado equivocado $3\pm2\sqrt{14}$.

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   Verifica con Vieta y numéricamente. Las raíces deben sumar $-b/a=6$: $\left(3+\sqrt{14}\right)+\left(3-\sqrt{14}\right)=6$ ✓. Deben multiplicar $c/a=-5$: $3^{2}-\left(\sqrt{14}\right)^{2}=9-14=-5$ ✓. Numéricamente $x\approx6.7417$ y $x\approx-0.7417$, y ambas dejan residuos por debajo de $10^{-11}$ ✓.