Resolver a/x = x para x, donde a es una constante.

Step-by-step solution

1. 1

   Anotar primero la restricción del dominio. El lado izquierdo tiene $x$ en un denominador, así que debe cumplirse

   $x\neq0$

   para que la ecuación tenga sentido. Anotarlo desde ahora es lo que hace que el caso $a=0$ salga bien al final.

2. 2

   Eliminar el denominador. Multiplicar ambos lados por $x$ (es legítimo, ya que $x\neq0$):

   $a=x^{2}$

   La ecuación dice que $x$ es un número cuyo cuadrado es $a$; de forma equivalente, $x$ es la relación de media geométrica entre $a$ y $1$.

3. 3

   Extraer raíces cuadradas conservando ambos signos. Para $a>0$:

   $x=\pm\sqrt{a}$

   Hay dos soluciones reales, porque elevar al cuadrado pierde la información del signo. Escribir solo $x=\sqrt{a}$ deja fuera la raíz negativa, que funciona de verdad: $\dfrac{a}{-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}$ ✓, ya que $a=\left(\sqrt a\right)^{2}$.

4. 4

   Tratar los demás casos de $a$. Si $a=0$ la ecuación se vuelve $\dfrac{0}{x}=x$, es decir $x=0$, pero $x=0$ quedó excluido por el dominio, así que no hay solución. Si $a<0$, entonces $x^{2}=a$ no tiene ninguna raíz real, aunque sobre los números complejos $x=\pm i\sqrt{|a|}$.

5. 5

   Verificar numéricamente. Para $a=0.5$, $2$ y $7.3$, al sustituir $x=\sqrt{a}$ en $\dfrac{a}{x}$ se recupera $\sqrt{a}$ con un error menor que $10^{-12}$ ✓ en todos los casos. Comprobación de sensatez con $a=9$: $x=\pm3$, y en efecto $\tfrac93=3$ ✓ y $\tfrac{9}{-3}=-3$ ✓.