Despejar y en 1/x + 1/y = 8 en términos de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Notar que una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. La tarea no es entonces hallar números, sino expresar $y$ como función de $x$ — una curva de soluciones en lugar de un punto. El dominio excluye $x=0$ e $y=0$.

2. 2

   Combinar el lado izquierdo sobre un común denominador.

   $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=8$

3. 3

   Eliminar el denominador. Se multiplican ambos lados por $xy$ (no nulo por el dominio):

   $x+y=8xy$

4. 4

   Agrupar los términos en $y$ y factorizar. Se pasa $y$ a la derecha y se saca como factor común:

   $x=8xy-y=y(8x-1)$

5. 5

   Dividir e indicar las exclusiones. Dividir entre $8x-1$ exige $8x-1\neq 0$:

   $y=\frac{x}{8x-1},\qquad x\neq 0,\ x\neq\frac{1}{8}$

   El valor $x=\tfrac18$ queda excluido porque entonces $\tfrac1x=8$ ya de por sí, lo que dejaría $\tfrac1y=0$, algo imposible.

6. 6

   Comprobar dos puntos de la curva. En $x=1$: $y=\tfrac17$, y $1+7=8$ $\checkmark$. En $x=\tfrac14$: $y=\tfrac{1/4}{1}=\tfrac14$, y $4+4=8$ $\checkmark$.