En el plano cartesiano, el punto P tiene coordenadas (m, n), donde m y n cumplen (m² + n² + 1)(m² + n² + 3) = 8. Hallar la longitud de OP.

Step-by-step solution

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   Relacionar lo que se pide con la expresión dada. La distancia de $P(m,n)$ al origen es

   $OP=\sqrt{m^2+n^2}$

   Así que todo el problema se reduce a hallar el único número $m^2+n^2$; los valores individuales de $m$ y $n$ nunca hacen falta.

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   Sustituir para ocultar las dos variables. Sea

   $t=m^2+n^2$

   Como $m$ y $n$ son reales, cada cuadrado es no negativo, lo que impone una restricción que hay que arrastrar hasta el final:

   $t\ge 0$

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   Desarrollar y resolver la cuadrática en $t$.

   $(t+1)(t+3)=8$

   $t^2+4t+3=8$

   $t^2+4t-5=0$

   $(t+5)(t-1)=0\ \Longrightarrow\ t=-5\ \text{o}\ t=1$

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   Descartar la raíz que viola la restricción. Una suma de dos cuadrados reales no puede valer $-5$, así que se rechaza $t=-5$ y queda

   $m^2+n^2=1$

   Por eso la tentadora respuesta $\sqrt5$ (o $1$) es una trampa: conserva una raíz que el propio dominio de la sustitución prohíbe.

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   Calcular $OP$ y verificar.

   $OP=\sqrt{1}=1$

   Comprobación con la restricción: si $t=1$, entonces $(1+1)(1+3)=2\times 4=8$ $\checkmark$. Geométricamente, $P$ puede estar en cualquier punto de la circunferencia unitaria — por ejemplo $(1,0)$ o $\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)$ — y todo punto así queda a distancia $1$ del origen.