Resolver x⁴ + x³ + x² + x = 4553.

Step-by-step solution

1. 1

   Factorizar el lado izquierdo para conocer la forma. Agrupando,

   $x^4+x^3+x^2+x=x(x^3+x^2+x+1)=x(x+1)(x^2+1)$

   Como $x^2+1>0$ siempre, el signo de $g(x)=x(x+1)(x^2+1)$ es el de $x(x+1)$: negativo solo en $(-1,0)$ y positivo fuera. Y $g$ crece como $x^4$ en ambas direcciones. Así que, para cualquier objetivo por encima de $0$, hay exactamente dos raíces reales, una positiva y otra negativa; la negativa es la mitad que se suele olvidar.

2. 2

   Acotar la raíz positiva. $g(7)=2401+343+49+7=2800$ y $g(8)=4096+512+64+8=4680$. El objetivo $4553$ queda entre ambos, así que la raíz está en $(7,8)$ y cerca de $8$.

3. 3

   Afinar la raíz positiva. $g(7.9)=4458.36$ y $g(7.95)=4568.17$, así que la raíz está en $(7.9,7.95)$. Bisecando hasta la precisión de la máquina se obtiene

   $x_1=7.9431476$

4. 4

   Descartar el valor 7.949102 que suele citarse. Al evaluar ahí, $g(7.949102)=4566.18$, que rebasa $4553$ en más de $13$. Un valor tan alejado no puede ser la raíz; la discrepancia se pasa por alto con facilidad porque la cuarta potencia hace que $g$ cambie muy deprisa cerca de $x=8$ (unas $2200$ unidades por cada unidad).

5. 5

   Acotar y afinar la raíz negativa. $g(-8)=4096-512+64-8=3640$ y $g(-8.5)=4669.69$, así que la segunda raíz está en $(-8.5,-8)$. La bisección da

   $x_2=-8.4477787$

6. 6

   Verificar ambas. $g(7.9431476)=4553.000$ y $g(-8.4477787)=4553.000$ con tres decimales. Las dos raíces restantes de la cuártica forman un par complejo conjugado, de modo que el conjunto de soluciones reales es exactamente $\{7.9431476,\,-8.4477787\}$.