La desigualdad |ax + 5| ≤ b tiene como conjunto solución −4 ≤ x ≤ 6. Hallar a − b.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribir la desigualdad como un enunciado de centro y radio. Para $a\ne 0$,

   $|ax+5|\le b\iff |a|\left|x+\frac5a\right|\le b\iff \left|x-\left(-\frac5a\right)\right|\le\frac{b}{|a|}$

   Así que el conjunto solución siempre es un intervalo cerrado centrado en $-\tfrac5a$ y de radio $\tfrac{b}{|a|}$. Este es el atajo que evita separar en casos según el signo de $a$.

2. 2

   Leer el centro y el radio del intervalo dado. Para $[-4,6]$,

   $\text{centro}=\frac{-4+6}{2}=1,\qquad \text{radio}=\frac{6-(-4)}{2}=5$

3. 3

   Igualar el centro para hallar $a$.

   $-\frac{5}{a}=1\ \Longrightarrow\ a=-5$

4. 4

   Igualar el radio para hallar $b$. Con $|a|=5$,

   $\frac{b}{5}=5\ \Longrightarrow\ b=25$

   Nótese que $b=25\ge 0$, cosa que se exige: un $b$ negativo dejaría $|ax+5|\le b$ sin solución.

5. 5

   Calcular $a-b$ y verificar la desigualdad original.

   $a-b=-5-25=-30$

   Comprobación: con $a=-5$, $b=25$ la desigualdad queda $|-5x+5|\le 25$, es decir $5|x-1|\le 25$, es decir $|x-1|\le 5$, es decir $-4\le x\le 6$: exactamente el conjunto solución dado. Los extremos dan $|-5(-4)+5|=25$ y $|-5(6)+5|=25$, y ambos alcanzan la cota, como exige la igualdad.

6. 6

   La técnica general. Para cualquier $|ax+c|\le b$: el punto medio del intervalo solución es $-c/a$ y su semilongitud es $b/|a|$. Igualar esos dos números al punto medio y a la semilongitud del intervalo dado siempre determina $a$ y $b$ en un solo paso, sin casos de signo.