Hallar el dominio de la función f(x) = 1 / (8/(x − 5) − 2) y escribirlo en notación de intervalos.

Step-by-step solution

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   Contar los denominadores, no las fracciones. Una fracción compleja tiene más de un punto por donde puede fallar. Esta función tiene dos: el denominador interno $x-5$ y el denominador externo $\frac{8}{x-5}-2$. Ambos deben ser distintos de cero, y cada uno aporta un valor excluido distinto.

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   Restricción 1 — el denominador interno. $\frac{8}{x-5}$ exige

   $x-5\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 5.$

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   Restricción 2 — el denominador externo. Se iguala el denominador externo a cero, se resuelve y se excluye esa raíz:

   $\frac{8}{x-5}-2=0\ \Longrightarrow\ \frac{8}{x-5}=2\ \Longrightarrow\ 8=2(x-5)\ \Longrightarrow\ x=9,$

   así que $x\ne 9$.

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   Por qué las restricciones deben hallarse antes de simplificar. Multiplicar numerador y denominador por $x-5$ da la forma más ordenada

   $f(x)=\frac{x-5}{8-2(x-5)}=\frac{x-5}{18-2x}.$

   Esa forma todavía muestra $x\ne 9$ (porque $18-2x=0$ en $x=9$), pero ha perdido por completo la restricción $x\ne 5$. Simplificar primero y leer el dominio en la expresión simplificada es la manera clásica de equivocarse en este tipo de problema.

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   Escribir el dominio en notación de intervalos. Al quitar de la recta real los dos puntos aislados quedan tres intervalos abiertos:

   $(-\infty,5)\cup(5,9)\cup(9,\infty).$