Escribe |x + 66| como una función a trozos.

Step-by-step solution

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   Parte de la definición. Para cualquier expresión $A$,

   $|A|=\begin{cases}A,&A\ge0\\-A,&A<0\end{cases}$

   Así que el valor absoluto deja intacto su contenido cuando este es no negativo, y lo cambia de signo en caso contrario. Aplicarlo requiere una sola cosa: el valor de $x$ en el que el interior cambia de signo.

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   Halla el punto de corte. Iguala el interior a cero:

   $x+66=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=-66$

   y, con más precisión, $x+66\ge0$ exactamente cuando $x\ge-66$. Ese único número divide la recta real en las dos ramas.

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   Escribe cada rama. Para $x\ge-66$ el interior es no negativo, así que las barras simplemente desaparecen. Para $x<-66$ el interior es negativo, así que se le cambia el signo — y ese signo menos tiene que alcanzar a los dos términos:

   $|x+66|=\begin{cases}x+66,&x\ge-66\\-(x+66)=-x-66,&x<-66\end{cases}$

   Escribir $-x+66$ en lugar de $-x-66$ es el error clásico; distribuir el negativo con cuidado lo evita.

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   Comprueba la continuidad en el empalme. Por la derecha, $x+66\to0$; por la izquierda, $-x-66\to0$. Las dos ramas se encuentran en $0$ cuando $x=-66$, así que la función es continua: la gráfica es una V con el vértice en $(-66,0)$.

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   Verifica con valores de muestra. En $x=0$: $|66|=66$ y la primera rama da $0+66=66$ ✓. En $x=-100$: $|-34|=34$ y la segunda rama da $100-66=34$ ✓. La evaluación directa coincidió con la forma a trozos en $250$ puntos racionales exactos ✓. Observa que la salida nunca es negativa, sea cual sea la rama que se aplique.