Factorizar por completo x³ + 3x² − 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Listar los candidatos a raíz racional. El coeficiente principal es $1$, así que toda raíz racional divide al término constante $-4$:

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$

2. 2

   Probar los candidatos pequeños. Con $f(x)=x^3+3x^2-4$:

   $f(1)=1+3-4=0$

   Entonces $x=1$ es raíz y $(x-1)$ es un factor. (Nótese que falta el término en $x$: su coeficiente es $0$, lo cual importa para la división.)

3. 3

   Dividir entre $(x-1)$ con división sintética. Se bajan los coeficientes $1,\,3,\,0,\,-4$ con divisor $1$:

   $1\quad 4\quad 4\ \ |\ \ 0$

   El resto cero confirma la raíz, y el cociente es $x^2+4x+4$.

4. 4

   Factorizar el cociente. Es un cuadrado perfecto: $4=2^2$ y $2\cdot x\cdot 2=4x$:

   $x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\Longrightarrow\quad x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$

5. 5

   Comprobar por desarrollo y por la raíz doble. $(x-1)(x+2)^2=(x-1)(x^2+4x+4)=x^3+3x^2-4$ $\checkmark$. Además $f(-2)=-8+12-4=0$, y como $-2$ es raíz doble la gráfica toca ahí el eje sin cruzarlo.