¿Cuál de las siguientes es correcta? A: para a > 0, a³ + 1/a² tiene mínimo 2√a. B: para x > 1, x + 1/x tiene mínimo 2. C: para x > 0, √x + 1/√x ≥ 2. D: para x < 5/4, y = 4x − 2 + 1/(4x − 5) tiene mínimo 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Recuerda las tres condiciones que exige la desigualdad MA–MG. Para que $u+v\ge 2\sqrt{uv}$ dé un mínimo genuino, los términos tienen que ser positivos, su producto tiene que ser constante y el punto de igualdad $u=v$ tiene que caer realmente dentro del dominio permitido. Cada opción falsa de abajo incumple exactamente una de ellas.

2. 2

   A falla: la cota no es constante. MA–MG da $a^{3}+\dfrac{1}{a^{2}}\ge 2\sqrt{a^{3}\cdot a^{-2}}=2\sqrt{a}$, pero $2\sqrt a$ sigue dependiendo de $a$, así que no es un valor mínimo: es un blanco móvil. (El mínimo verdadero está en $3a^{2}=2a^{-3}$, es decir $a=(2/3)^{1/5}$.) Incorrecta.

3. 3

   B falla: el dominio deja fuera la igualdad. $x+\dfrac1x\ge 2$ con igualdad solo en $x=1$, y el dominio es $x>1$. Sobre $x>1$ la función es estrictamente creciente, así que toma valores $>2$ pero nunca llega a $2$: el ínfimo es $2$ y no hay mínimo. Incorrecta.

4. 4

   C es correcta. Pon $t=\sqrt{x}>0$; entonces $t+\dfrac1t\ge 2\sqrt{t\cdot\tfrac1t}=2$, con igualdad en $t=1$, es decir $x=1$, que sí pertenece al dominio $x>0$. Así que la desigualdad se cumple para todo $x>0$ y además es óptima. Correcta.

5. 5

   D falla: 1 es un máximo, no un mínimo. Escribe $t=4x-5$; como $x<\tfrac54$, resulta $t<0$. Entonces $4x-2=t+3$, de modo que

   $y=t+3+\frac1t=3+\left(t+\frac1t\right)$

   Para $t<0$ se tiene $t+\dfrac1t=-\left(|t|+\dfrac{1}{|t|}\right)\le -2$, luego $y\le 1$. Así que $1$ es el valor más grande de $y$ (alcanzado en $t=-1$, es decir $x=1$), no el más pequeño. Incorrecta.

6. 6

   Concluye.

   $\boxed{\text{C}}$

   Comprobaciones rápidas: en D, $x=1$ da $y=4-2+\tfrac{1}{-1}=1$, y $x=0$ da $y=-2-\tfrac15=-2.2<1$, lo que confirma que $1$ es un máximo. En B, $x=1.1$ da $1.1+0.909=2.009>2$, y el valor decrece hacia $2$ pero nunca lo alcanza.