¿Cuál es el primer paso de la división (8x³ − x² + 6x + 7) ÷ (2x − 1)? Opciones: dividir 8x³ entre 2x; dividir 2x entre 8x³; dividir 6x entre 2x; dividir 2x entre 6x.

Step-by-step solution

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   Recuerda la regla que dirige la división larga. En cada etapa se divide el término principal de lo que queda del dividendo entre el término principal del divisor. Eso es lo que garantiza que el grado baje en cada pasada, y por eso el proceso termina.

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   Identifica los dos términos principales. En $8x^3-x^2+6x+7$ el término principal es $8x^3$ (la potencia más alta). En $2x-1$ el término principal es $2x$. Así que el primer paso divide $8x^3$ entre $2x$.

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   Realiza esa división. $\frac{8x^3}{2x}=4x^2$, que se convierte en el primer término del cociente. Al multiplicar de vuelta queda $4x^2(2x-1)=8x^3-4x^2$, y al restar sobra $3x^2+6x+7$.

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   Observa por qué fallan las otras opciones. Dividir $2x$ entre $8x^3$ intercambia dividendo y divisor, y daría una potencia negativa. Usar $6x$ en lugar de $8x^3$ elige un término que no es el principal, y eso no reduce el grado del resto.

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   Termina la división para confirmar que el planteamiento funciona. Al continuar se obtiene el cociente $4x^2+\frac32 x+\frac{15}{4}$ con resto $\frac{43}{4}$; los coeficientes fraccionarios no son problema, pero el proceso solo cierra porque en cada paso se usaron los términos principales.

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   Comprobación numérica en x = 1. El dividendo vale $=8-1+6+7=20$ y el divisor $=1$, así que el cociente más el resto debe sumar $20$; y $4+\frac32+\frac{15}{4}+\frac{43}{4}=20$, lo que coincide exactamente.