Factoriza por completo −3x⁶ + 12x¹².

Step-by-step solution

1. 1

   Escribir los términos en orden descendente. La forma estándar deja positivo el término principal y hace visible la estructura:

   $12x^{12}-3x^6$

2. 2

   Extraer el máximo común divisor. El m.c.d. numérico de $12$ y $3$ es $3$, y la menor potencia de $x$ es $x^6$:

   $12x^{12}-3x^6=3x^6\left(4x^6-1\right)$

3. 3

   No hay que detenerse aquí: revisar el paréntesis. $4x^6=\left(2x^3\right)^2$ y $1=1^2$, así que $4x^6-1$ es una diferencia de cuadrados. Dejar la respuesta como $3x^6(4x^6-1)$ es una factorización incompleta.

4. 4

   Aplicar $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ con $A=2x^3$, $B=1$.

   $4x^6-1=\left(2x^3-1\right)\left(2x^3+1\right)$

   $12x^{12}-3x^6=3x^6\left(2x^3-1\right)\left(2x^3+1\right)$

5. 5

   Comprobar que ya no se puede extraer nada más sobre los racionales. Para que $2x^3\mp 1$ se separara como suma o diferencia de cubos, $2$ tendría que ser un cubo racional, y no lo es. Verificación numérica en $x=1$: el original $=12-3=9$, y $3(1)(2-1)(2+1)=3\cdot 1\cdot 3=9$ $\checkmark$.