Factorizar por completo x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer una suma geométrica. Los seis términos van de $x^0$ hasta $x^5$ con razón $x$, así que para $x\neq 1$

   $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{x^6-1}{x-1}$

   Esto convierte una quíntica incómoda en una diferencia de potencias, que tiene factorizaciones conocidas.

2. 2

   Factorizar $x^6-1$ leyéndolo como diferencia de cuadrados. Al ver $x^6=(x^3)^2$ se obtiene

   $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$

3. 3

   Factorizar cada cúbica con la suma y la diferencia de cubos.

   $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\qquad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

4. 4

   Cancelar el $x-1$. Sustituyendo todo de vuelta,

   $\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}{x-1}=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

   La cancelación es legítima como identidad de polinomios: la quíntica original no tiene factor $x-1$, ya que al sustituir $x=1$ se obtiene $6$, no $0$.

5. 5

   Contrastar con una agrupación directa. Emparejando términos, $x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^4+x^2+1)$, y $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ (se suma y se resta $x^2$ para armar una diferencia de cuadrados). La misma respuesta por un camino completamente distinto.

6. 6

   Confirmar numéricamente y revisar la irreducibilidad. En $x=2$: la expresión original vale $32+16+8+4+2+1=63$, y $(3)(7)(3)=63$ ✓. Cada cuadrática tiene discriminante $1-4=-3<0$, así que ninguna factoriza sobre los reales: la factorización está completa.