Determina el producto AB de las matrices A con filas (1, 3, 2), (2, −1, −3), (1, 1, 0) y B con filas (−3, 2, 4), (1, 0, 2), (0, 2, 3).

Step-by-step solution

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   Revisa las dimensiones y fija la regla. $A$ es $3\times 3$ y $B$ es $3\times 3$, así que las dimensiones interiores coinciden y $AB$ es $3\times 3$. La entrada de la fila $i$, columna $j$ es el producto escalar de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$:

   $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{kj}.$

   Multiplicar entrada por entrada en la misma posición es el error clásico: eso no es multiplicación de matrices.

2. 2

   Calcula la fila 1 del producto. La fila $1$ de $A$ es $(1,3,2)$:

   $(1)(-3)+(3)(1)+(2)(0)=0,$
   $(1)(2)+(3)(0)+(2)(2)=6,$
   $(1)(4)+(3)(2)+(2)(3)=16.$

3. 3

   Calcula la fila 2. La fila $2$ de $A$ es $(2,-1,-3)$:

   $(2)(-3)+(-1)(1)+(-3)(0)=-7,$
   $(2)(2)+(-1)(0)+(-3)(2)=-2,$
   $(2)(4)+(-1)(2)+(-3)(3)=-3.$

4. 4

   Calcula la fila 3. La fila $3$ de $A$ es $(1,1,0)$, así que la tercera fila de $B$ nunca aporta:

   $(1)(-3)+(1)(1)+(0)(0)=-2,$
   $(1)(2)+(1)(0)+(0)(2)=2,$
   $(1)(4)+(1)(2)+(0)(3)=6.$

5. 5

   Arma el producto.

   $AB=\begin{pmatrix}0&6&16\\ -7&-2&-3\\ -2&2&6\end{pmatrix}.$

6. 6

   Comprueba con un vector columna. Multiplicar $B$ por $(1,0,0)^{T}$ extrae su primera columna $(-3,1,0)^{T}$; entonces $A(-3,1,0)^{T}=(-3+3+0,\ -6-1+0,\ -3+1+0)^{T}=(0,-7,-2)^{T}$, que es exactamente la primera columna de $AB$ ✓. Recuerda además que la multiplicación de matrices no es conmutativa: $BA$ es una matriz distinta.