La función f(x) = |x + 2| - 3 se refleja en el eje x y luego se traslada 2 unidades hacia abajo. Escribir la ecuación de la nueva función.

Step-by-step solution

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   Leer el vértice de partida. $f(x)=|x+2|-3$ abre hacia arriba con vértice $(-2,-3)$, y corta dos veces al eje $x$, donde $|x+2|=3$, es decir en $x=-5$ y $x=1$.

2. 2

   Reflejar respecto del eje $x$: cambiar de signo todo. Cada valor de salida cambia de signo, así que todo el lado derecho recibe un signo menos delante:

   $-f(x)=-\left(|x+2|-3\right)=-|x+2|+3$

   La constante pasa de $-3$ a $+3$. Distribuir ese menos sobre los dos términos es toda la dificultad del problema.

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   Trasladar 2 unidades hacia abajo. Se resta $2$ a la función reflejada:

   $-|x+2|+3-2=-|x+2|+1$

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   Ecuación final y su forma.

   $f(x)=-|x+2|+1,\qquad \text{vértice }(-2,1),\ \text{abre hacia abajo}$

   El vértice pasó de $(-2,-3)$ a $(-2,3)$ con la reflexión, y luego bajó $2$ hasta $(-2,1)$.

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   Verificar con puntos e intersecciones. El punto original $(0,-1)$ se refleja en $(0,1)$ y luego se traslada a $(0,-1)$; la fórmula da $-|0+2|+1=-2+1=-1\;\checkmark$. Las nuevas intersecciones con el eje $x$ cumplen $|x+2|=1$, así que $x=-3$ y $x=-1$ — las dos raíces se acercaron entre sí respecto de $\{-5,1\}$, algo coherente con una V que abre hacia abajo y cuyo pico está apenas $1$ unidad por encima del eje.