Resolver x⁴ + x³ + x² + x = 4.66.

Step-by-step solution

1. 1

   Establecer cuántas raíces reales hay que buscar. Con $g(x)=x(x+1)(x^2+1)$, el factor $x^2+1$ no se anula nunca, así que $g<0$ solo en $(-1,0)$ y $g\to+\infty$ en ambas direcciones. La recta horizontal $y=4.66$ corta por tanto la gráfica exactamente dos veces, y cualquier respuesta que liste una sola raíz está incompleta.

2. 2

   Acotar la raíz positiva. $g(1)=4$ y $g(1.1)=5.1051$, así que la raíz está en $(1,1.1)$, más cerca del extremo inferior, porque $4.66$ queda más próximo a $4$ que a $5.11$.

3. 3

   Afinar la raíz positiva.

   $x_1=1.0620313,\qquad g(x_1)=4.660000$

   El valor citado $1.06463$ da $g=4.6894$, desviado en $0.03$; como $g'\approx 11$ cerca de ese punto, eso corresponde a un error en $x$ de unos $0.0026$.

4. 4

   Acotar la raíz negativa. $g(-1.7)=4.6291$ (justo por debajo del objetivo) y $g(-1.75)=5.3320$ (por encima), así que la raíz está en $(-1.75,-1.7)$.

5. 5

   Afinar la raíz negativa.

   $x_2=-1.7023038,\qquad g(x_2)=4.660000$

   Un valor de $-1.72880$ cae dentro del intervalo, pero da $g=5.0256$, claramente por encima de $4.66$, así que tampoco es la raíz.

6. 6

   Reunir la respuesta. Las dos soluciones reales son $x\approx 1.0620313$ y $x\approx -1.7023038$; las otras dos raíces de esta cuártica son complejas conjugadas.