Factoriza por completo la expresión (a + x)^(m+1) (b + x)^(n−1) − (a + x)^m (b + x)^n.

Step-by-step solution

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   Lee los exponentes, no las letras. Los dos términos están construidos con las mismas dos bases, $(a+x)$ y $(b+x)$; solo cambian los exponentes. El primer término lleva $(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}$ y el segundo lleva $(a+x)^{m}(b+x)^{n}$. Cuando dos productos comparten bases, el máximo factor común usa el exponente menor de cada base; esa regla es todo el método aquí, y funciona incluso aunque $m$ y $n$ sean desconocidos.

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   Toma el exponente menor de cada base. Para $(a+x)$ los exponentes son $m+1$ y $m$, así que el menor es $m$. Para $(b+x)$ son $n-1$ y $n$, así que el menor es $n-1$. Por lo tanto

   $\text{factor común}=(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   Observa que esto es legítimo para cualesquiera enteros $m,n$: nunca hizo falta conocer sus valores, solo cuál de cada pareja es el menor.

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   Divide cada término entre el factor común usando $x^p/x^q=x^{p-q}$.

   $\frac{(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(a+x)^{1}=a+x$

   $\frac{(a+x)^{m}(b+x)^{n}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(b+x)^{1}=b+x$

   Así que la expresión se convierte en $(a+x)^m(b+x)^{n-1}\left[(a+x)-(b+x)\right]$.

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   Simplifica el paréntesis: aquí es donde el problema se derrumba. Distribuye el signo menos con cuidado:

   $(a+x)-(b+x)=a+x-b-x=a-b$

   Los dos términos en $x$ se cancelan, así que el paréntesis no es un binomio en $x$ en absoluto: es la diferencia constante $a-b$. Olvidar distribuir el menos sobre el $+x$ es el error más común y dejaría el paréntesis equivocado $a-b+2x$.

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   Escribe la forma factorizada y compruébala. Juntando las piezas,

   $(a-b)(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   Comprobación numérica rápida con $a=2,b=1,x=1,m=2,n=3$: la expresión original es $3^{3}\cdot 2^{2}-3^{2}\cdot 2^{3}=108-72=36$, y la forma factorizada da $(2-1)\cdot 3^{2}\cdot 2^{2}=36$. Las dos coinciden, así que la factorización es correcta.