Halla el cociente de (8x³ − 6x² − 5x + 3) dividido entre (2x − 5).

Step-by-step solution

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   Plantea la división con un divisor no mónico. Como $2x-5$ empieza por $2x$, cada término del cociente se obtiene dividiendo el término principal actual entre $2x$. El dividendo tiene presentes las cuatro potencias, así que no hace falta ningún hueco.

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   Primer paso. $\dfrac{8x^3}{2x}=4x^2$. Multiplica hacia atrás: $4x^2(2x-5)=8x^3-20x^2$. Resta: $-6x^2-(-20x^2)=14x^2$, baja $-5x$ y queda $14x^2-5x$.

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   Segundo paso. $\dfrac{14x^2}{2x}=7x$. Multiplica hacia atrás: $7x(2x-5)=14x^2-35x$. Resta: $-5x-(-35x)=30x$, baja $+3$ y queda $30x+3$.

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   Tercer paso. $\dfrac{30x}{2x}=15$. Multiplica hacia atrás: $15(2x-5)=30x-75$. Resta: $3-(-75)=78$, una constante, así que la división termina aquí.

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   Escribe el resultado. $\dfrac{8x^3-6x^2-5x+3}{2x-5}=4x^2+7x+15+\dfrac{78}{2x-5}$; el resto $78\neq 0$ muestra que $2x-5$ no es un factor.

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   Comprueba de las dos maneras. Multiplicando hacia atrás: $(2x-5)(4x^2+7x+15)+78=8x^3+14x^2+30x-20x^2-35x-75+78=8x^3-6x^2-5x+3$. Evaluando el dividendo en la raíz del divisor, $x=\tfrac52$, se obtiene $8\cdot\tfrac{125}{8}-6\cdot\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{2}+3=125-37.5-12.5+3=78$, que coincide con el resto.