Resuelve el sistema de inecuaciones x − 3(x − 2) ≥ 4 y (2x − 1)/5 < (x + 1)/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Resuelve la primera inecuación. Desarrolla, recordando que el $-3$ multiplica a los dos términos:

   $x-3x+6\ge 4\quad\Longrightarrow\quad -2x+6\ge 4\quad\Longrightarrow\quad -2x\ge -2$

2. 2

   Divide entre el coeficiente negativo e invierte el signo. Dividir ambos miembros entre $-2$ invierte la desigualdad:

   $x\le 1$

   Esta inversión de signo es, con diferencia, el error más común de todo el problema.

3. 3

   Resuelve la segunda inecuación quitando denominadores. El m.c.m. de $5$ y $2$ es $10$, que es positivo, así que multiplicar no cambia el sentido:

   $2(2x-1)<5(x+1)\quad\Longrightarrow\quad 4x-2<5x+5$

4. 4

   Despeja x. Resta $4x$ y $5$ en ambos miembros:

   $-7<x$

5. 5

   Interseca los dos conjuntos solución. Las dos condiciones deben cumplirse a la vez:

   $-7<x\le 1$

   $\boxed{(-7,\,1]}$

6. 6

   Describe el dibujo en la recta numérica y prueba los extremos. Traza un círculo abierto en $-7$ (excluido, desigualdad estricta) y un círculo relleno en $1$ (incluido), sombreando entre ambos. Comprobación: en $x=1$ la primera da $1-3(-1)=4\ge 4$ ✓ y la segunda da $\tfrac15<1$ ✓; en $x=-7$ la segunda da $\tfrac{-15}{5}=-3<\tfrac{-6}{2}=-3$, que es falso, lo que confirma que hay que excluir $-7$; en $x=0$ (interior) se cumplen las dos ✓.