¿Se puede factorizar 5x² − 2x + 1 sobre los números reales?

Step-by-step solution

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   Convierte la pregunta sobre factorización en una pregunta sobre raíces. Una cuadrática se descompone en factores lineales reales $a(x-r_{1})(x-r_{2})$ exactamente cuando tiene raíces reales $r_{1},r_{2}$. Así que todo el asunto lo decide el discriminante, sin ningún tanteo con parejas de factores.

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   Calcula el discriminante. Con $a=5$, $b=-2$, $c=1$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(5)(1)=4-20=-16$

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   Interpreta el signo. $\Delta=-16<0$, así que la fórmula general exigiría $\sqrt{-16}$, que no es un número real. Por tanto no hay raíces reales y, en consecuencia, no hay factorización en factores lineales reales:

   $5x^{2}-2x+1\ \text{es irreducible sobre }\mathbb{R}$

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   Confírmalo completando el cuadrado. Sacando factor común $5$ en los términos con $x$, la mitad de $-\tfrac25$ es $-\tfrac15$:

   $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}-5\cdot\tfrac1{25}+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}+\tfrac45$

   El valor mínimo es $\tfrac45>0$, así que la parábola nunca llega al eje $x$ — una demostración independiente de la misma conclusión.

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   Factoriza sobre $\mathbb{C}$ para completar el cuadro. De $5\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac45$ se obtiene $\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac4{25}$, de donde

   $x=\frac{1\pm2i}{5}$

   y $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\frac{1+2i}{5}\right)\left(x-\frac{1-2i}{5}\right)$. La fórmula general coincide: $x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{10}=\frac{2\pm4i}{10}=\frac{1\pm2i}{5}$ ✓ — un par conjugado, como siempre ocurre con coeficientes reales.