Desarrollar y simplificar (√2 + √3 + √5)².

Step-by-step solution

1. 1

   Usar la fórmula del cuadrado de un trinomio. Para cualesquiera $a,b,c$,

   $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

   Hay tres términos cruzados, no uno; olvidar un par es el error habitual con los cuadrados de tres términos.

2. 2

   Elevar al cuadrado cada término. Elevar al cuadrado una raíz cuadrada la elimina por completo:

   $\left(\sqrt2\right)^{2}+\left(\sqrt3\right)^{2}+\left(\sqrt5\right)^{2}=2+3+5=10$

3. 3

   Formar los tres términos cruzados. Cada uno es el doble del producto de una pareja, y $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$:

   $2\sqrt2\sqrt3=2\sqrt6,\qquad 2\sqrt3\sqrt5=2\sqrt{15},\qquad 2\sqrt5\sqrt2=2\sqrt{10}$

4. 4

   Sumar todo. Ninguno de $\sqrt6$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{15}$ se puede simplificar más ni combinar entre sí, porque $6$, $10$ y $15$ son libres de cuadrados y distintos entre ellos:

   $\boxed{10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}$

5. 5

   Comprobar numéricamente. $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5=1.41421+1.73205+2.23607=5.38233$, y $5.38233^{2}=28.9695$. La respuesta da $10+2(2.44949)+2(3.16228)+2(3.87298)=10+4.89898+6.32456+7.74597=28.9695$ ✓.