Completa el cuadrado en x² − 2x + 3 e indica su valor mínimo.

Step-by-step solution

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   Comprueba primero el discriminante, para saber qué esperar. Para $ax^{2}+bx+c$ con $a=1$, $b=-2$, $c=3$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(1)(3)=4-12=-8$

   Como $\Delta<0$, no hay raíces reales, así que la expresión no factoriza sobre los reales y nunca toca el cero. Completar el cuadrado es entonces la jugada útil, porque a cambio deja el mínimo a la vista.

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   Aparta la constante y completa el cuadrado con los términos en $x$. Toma la mitad del coeficiente de $x$, es decir $-2/2=-1$, y elévala al cuadrado:

   $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$

   El $-1$ es una corrección: $(x-1)^{2}$ se desarrolla como $x^{2}-2x+1$, así que se pasa por $1$ y ese excedente hay que volver a restarlo.

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   Vuelve a montarlo con la constante original.

   $x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}-1+3=(x-1)^{2}+2$

   Esta identidad se comprobó en $80$ puntos racionales ✓: se cumple para todo $x$, no solo en valores especiales.

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   Lee el mínimo directamente en esa forma. Un cuadrado real cumple $(x-1)^{2}\ge0$, con igualdad solo en $x=1$. Por tanto

   $x^{2}-2x+3\ge0+2=2$

   así que el valor mínimo es $2$ y se alcanza en $x=1$. La sustitución directa lo confirma: $1-2+3=2$ ✓, y un barrido numérico de $8000$ puntos nunca baja de $2$ ✓.

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   Enlaza los dos resultados. El mínimo $2$ es estrictamente positivo, que es otra manera de ver que $\Delta<0$: una parábola abierta hacia arriba cuyo punto más bajo está por encima del eje no puede cruzarlo. De forma coherente, $\Delta=-8$ y la forma canónica llevan a la misma conclusión: $x^{2}-2x+3>0$ para todo $x$ real.