Calcular la raíz cuadrada de −19 multiplicada por la raíz cuadrada de −19.

Step-by-step solution

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   No uses aquí la regla del producto de radicales. La identidad $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ solo vale cuando $a,b\ge0$. Aplicarla a ciegas daría $\sqrt{(-19)(-19)}=\sqrt{361}=19$ — el signo equivocado, y la trampa clásica de este problema.

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   Pasa primero a la unidad imaginaria. La raíz cuadrada principal de un número negativo se define a través de $i=\sqrt{-1}$:

   $\sqrt{-19}=i\sqrt{19}$

   Una vez que todos los radicandos son no negativos, el álgebra corriente vuelve a ser segura.

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   Multiplica las dos formas.

   $\left(i\sqrt{19}\right)\left(i\sqrt{19}\right)=i^{2}\left(\sqrt{19}\right)^{2}=i^{2}\cdot 19$

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   Aplica $i^2=-1$.

   $i^{2}\cdot 19=-1\cdot 19=-19$

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   Confírmalo con la definición de raíz cuadrada. Para cualquier número $z$, $\left(\sqrt z\right)^2=z$ por definición, así que $\left(\sqrt{-19}\right)^2$ tiene que ser $-19$. Esto coincide con el resultado calculado y muestra por qué $+19$ nunca podría ser correcto ✓. Un control numérico con $\sqrt{19}=4.3589$: $(4.3589i)^2=-19.000$ ✓.