Resuelve 8x⁴ − 6x³ + 30x² − 18x + 18 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Extraer el factor numérico común. Todos los coeficientes son pares:

   $8x^{4}-6x^{3}+30x^{2}-18x+18=2\left(4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9\right)$

   Como $2\neq 0$, la ecuación equivale a $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=0$. Con coeficientes más pequeños, el siguiente paso resulta mucho más sencillo.

2. 2

   Comprobar que no existe ninguna raíz racional. Los candidatos son $\pm\frac{p}{q}$ con $p\mid 9$ y $q\mid 4$. Los coeficientes se alternan de tal modo que todo candidato positivo da un valor positivo, y todo candidato negativo da también un valor positivo, así que no hay factor lineal sobre los racionales. La siguiente esperanza es una factorización en dos cuadráticas.

3. 3

   Plantear coeficientes indeterminados. Se prueba

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}+bx+3\right)\left(x^{2}+ex+3\right)$

   eligiendo los términos constantes como $3$ y $3$ porque su producto debe ser $9$. Al desarrollar se obtiene

   $4x^{4}+(4e+b)x^{3}+(be+15)x^{2}+3(b+e)x+9$

4. 4

   Igualar coeficientes y resolver el sistema pequeño. Al comparar con el objetivo:

   $4e+b=-3,\qquad be+15=15,\qquad 3(b+e)=-9$

   La ecuación del medio obliga a que $be=0$, así que $b=0$ o $e=0$. Con $e=0$ la tercera da $b=-3$, y la primera se cumple: $4(0)+(-3)=-3$ ✓. Por lo tanto

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}-3x+3\right)\left(x^{2}+3\right)$

5. 5

   Resolver la primera cuadrática. Para $4x^{2}-3x+3=0$ el discriminante es

   $(-3)^{2}-4(4)(3)=9-48=-39<0$

   así que

   $x=\frac{3\pm i\sqrt{39}}{8}$

6. 6

   Resolver la segunda cuadrática y concluir. $x^{2}+3=0$ da $x=\pm i\sqrt3$. Las cuatro raíces son no reales, así que la cuártica no tiene soluciones reales, lo cual concuerda con la gráfica, que se mantiene por encima del eje (su valor mínimo es positivo). Al volver a multiplicar los dos factores y duplicar se reproduce exactamente $8x^4-6x^3+30x^2-18x+18$ ✓.