Halla las soluciones reales de la ecuación (3x - 5)² - 8(3x - 5) + 16 = 0.

Step-by-step solution

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   Identifica la expresión que se repite. El binomio $3x-5$ aparece al cuadrado y elevado a la primera, así que un cambio de variable reduce la ecuación a una cuadrática sencilla.

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   Haz u = 3x - 5. La ecuación se convierte en $u^2-8u+16=0$. Fíjate en que $16=4^2$ y $8=2\cdot 4$, que es justamente el patrón de un trinomio cuadrado perfecto.

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   Factoriza como cuadrado perfecto. $u^2-8u+16=(u-4)^2$, así que $(u-4)^2=0$ obliga a $u=4$. Como el factor está repetido, se trata de una raíz doble y no de dos valores distintos.

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   Despeja x. De $3x-5=4$ se obtiene $3x=9$, luego $x=3$. Hay una sola solución, y tiene multiplicidad dos.

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   Sustituye de vuelta. Con $x=3$: $3x-5=4$, de modo que $4^2-8(4)+16=16-32+16=0$. El primer miembro es exactamente cero, lo que confirma la única raíz repetida.