Para a > 0, resuelve la desigualdad ax² − (2a − 1)x + 2 ≥ 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Pasa todo al lado izquierdo. Restar $2x$ fusiona los dos términos lineales:

   $ax^{2}-\left[(2a-1)+2\right]x+2\ge 0\ \Longrightarrow\ ax^{2}-(2a+1)x+2\ge 0$

2. 2

   Factoriza la cuadrática. Prueba con $(x-2)(ax-1)$ y desarrolla para confirmarlo:

   $(x-2)(ax-1)=ax^{2}-x-2ax+2=ax^{2}-(2a+1)x+2\ \checkmark$

   así que la desigualdad es $(x-2)(ax-1)\ge 0$.

3. 3

   Normaliza el coeficiente principal. Como $a>0$, dividir entre $a$ no invierte la desigualdad, y $ax-1=a\left(x-\tfrac1a\right)$:

   $(x-2)\left(x-\frac{1}{a}\right)\ge 0$

   Las raíces son $2$ y $\tfrac1a$; la parábola abre hacia arriba, así que la solución queda fuera de las raíces — pero cuál de las dos está a la izquierda depende de $a$.

4. 4

   Caso $0<a<\tfrac12$ (entonces $\tfrac1a>2$). Las raíces ordenadas son $2<\tfrac1a$, lo que da

   $\left(-\infty,2\right]\cup\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$

   Comprobación con $a=\tfrac14$ (raíces $2$ y $4$): en $x=0$ la expresión vale $2\ge 0$ ✓, en $x=3$ vale $-\tfrac14<0$ ✗, y en $x=5$ vale $\tfrac34\ge 0$ ✓.

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   Caso $a=\tfrac12$ (entonces $\tfrac1a=2$). Las raíces coinciden y la desigualdad se convierte en $\tfrac12(x-2)^{2}\ge 0$, cierta para todo número real:

   $x\in\mathbb{R}$

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   Caso $a>\tfrac12$ (entonces $\tfrac1a<2$). Ahora $\tfrac1a$ es la raíz menor:

   $\left(-\infty,\frac{1}{a}\right]\cup\left[2,+\infty\right)$

7. 7

   Reúne las tres ramas. Toda la respuesta depende de una única comparación, $\tfrac1a$ frente a $2$, es decir, de si $a<\tfrac12$, $a=\tfrac12$ o $a>\tfrac12$ — el movimiento estándar para cualquier cuadrática con parámetro cuyas raíces dependen de él.