Resuelve la inecuación 2^x/(2^x − 3) + (2^x + 1)/(2^x − 2) + 5/(4^x − 5·2^x + 6) ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye $t=2^x$ y reescribe $4^x$. Como $4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2$, toda la expresión se vuelve racional en $t$: $\frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\frac{5}{t^2-5t+6}\le 0$, donde $t>0$ porque $2^x$ siempre es positivo.

2. 2

   Factoriza el tercer denominador para que los tres lo compartan. $t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$, que es exactamente el producto de los dos primeros denominadores. Por lo tanto, el dominio excluye $t=2$ y $t=3$.

3. 3

   Junta todo sobre $(t-2)(t-3)$. El numerador es $t(t-2)+(t+1)(t-3)+5=(t^2-2t)+(t^2-2t-3)+5=2t^2-4t+2$, así que la inecuación se lee $\frac{2t^2-4t+2}{(t-2)(t-3)}\le 0$.

4. 4

   Reconoce el cuadrado perfecto. $2t^2-4t+2=2(t^2-2t+1)=2(t-1)^2$, que nunca es negativo. Esa sola observación decide el problema: el cociente solo puede ser $\le 0$ cuando el numerador es cero, o cuando el denominador es negativo.

5. 5

   Trata los dos casos. El numerador cero da $t=1$, y allí $(1-2)(1-3)=2\neq 0$, así que $t=1$ es una solución válida. Denominador negativo significa $(t-2)(t-3)<0$, es decir $2<t<3$. En conjunto: $t=1$ o $2<t<3$.

6. 6

   Regresa a $x$. $t=1$ significa $2^x=1$, así que $x=0$. La franja $2<2^x<3$ da $1<x<\log_2 3\approx 1.585$, usando que $2^x$ es creciente y que $2^1=2$.

7. 7

   Verifica el punto aislado. En $x=0$ se obtiene $\frac{1}{1-3}+\frac{2}{1-2}+\frac{5}{1-5+6}=-\tfrac12-2+\tfrac52=0$, que cumple la desigualdad no estricta, lo que confirma que $x=0$ es una solución aislada genuina y no una raíz espuria.