Resuelve la inecuación 4x² - 4x + 1 < 0.

Step-by-step solution

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   Busca un cuadrado perfecto antes de factorizar a ciegas. Los términos de los extremos son cuadrados, $4x^2=(2x)^2$ y $1=1^2$, y el término central es $-2\cdot(2x)\cdot 1 = -4x$. Ese es exactamente el patrón $a^2-2ab+b^2$, de modo que $4x^2-4x+1=(2x-1)^2.$

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   Comprueba el discriminante para asegurarte. $\Delta = (-4)^2-4(4)(1) = 16-16 = 0$. Un discriminante nulo significa una raíz doble, que es otra manera de decir que el trinomio es un cuadrado perfecto con una única raíz $x=\tfrac12$.

3. 3

   Usa la propiedad de signo de los cuadrados. Para todo $x$ real, $(2x-1)^2 \ge 0$. Un cuadrado real puede ser cero, pero nunca puede ser estrictamente negativo, así que la exigencia $(2x-1)^2 < 0$ no se puede cumplir jamás.

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   Concluye que el conjunto solución es vacío. $4x^2-4x+1<0 \iff (2x-1)^2<0 \iff \varnothing.$ Geométricamente, la parábola se abre hacia arriba y toca el eje $x$ en $x=\tfrac12$ sin llegar nunca a bajar por debajo.

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   Contrasta los casos vecinos para no perder el carácter estricto. $(2x-1)^2 \le 0$ tiene la única solución $x=\tfrac12$; $(2x-1)^2 > 0$ tiene todo salvo $x=\tfrac12$; y $(2x-1)^2 \ge 0$ es cierto para todo $x$ real. Solo el $<$ estricto da el conjunto vacío.