Resolver la inecuación x² + x − 1 ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Localiza las raíces con la fórmula general. Con $a=1$, $b=1$, $c=-1$,

   $\Delta=1^2-4(1)(-1)=1+4=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$

   Ninguna pareja de enteros multiplica $-1$ y suma $1$, así que la factorización nunca iba a funcionar.

2. 2

   Reconoce los números. $\frac{-1+\sqrt5}{2}=0.6180340$ y $\frac{-1-\sqrt5}{2}=-1.6180340$: son la razón áurea y su conjugado cambiados de signo. La razón áurea cumple $\varphi^2=\varphi+1$; sustituir φ = −x convierte esa relación exactamente en $x^2+x-1=0$. Su producto es $-1$ y su suma es $-1$, en concordancia con $c/a$ y $-b/a$.

3. 3

   Aplica el sentido de apertura. El coeficiente principal es positivo, así que la parábola abre hacia arriba y la expresión es $\ge 0$ fuera del intervalo entre las raíces:

   $x\le\frac{-1-\sqrt5}{2}\qquad\text{o}\qquad x\ge\frac{-1+\sqrt5}{2}$

4. 4

   Incluye los extremos. La desigualdad no es estricta ($\ge$) y en cada raíz la expresión vale exactamente $0$, así que ambos valores frontera pertenecen al conjunto solución: corchetes cerrados, no abiertos.

5. 5

   Verifica con puntos de prueba. En $x=-2$: $4-2-1=1\ge 0$ ✓. En $x=0$: $-1$, que no cumple, y así queda correctamente excluida la zona central ✓. En $x=1$: $1+1-1=1\ge 0$ ✓. Por tanto la solución es

   $\left(-\infty,\tfrac{-1-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[\tfrac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)$