Resuelve la ecuación de segundo grado 40x² + 98x − 33 = 0.

Step-by-step solution

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   Calcula el discriminante antes que nada. Con $a=40$, $b=98$, $c=-33$,

   $\Delta=b^2-4ac=98^2-4(40)(-33)=9604+5280=14884$

   Un coeficiente principal de $40$ vuelve penosa la factorización por tanteo, así que vale la pena gastar una línea en $\Delta$ para averiguar si siquiera existen factores bonitos.

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   Reconoce 14884 como cuadrado perfecto. Saca el factor evidente $4$:

   $14884=4\cdot 3721,\qquad \sqrt{14884}=2\sqrt{3721}=2\cdot 61=122$

   porque $61^2=3721$. Un discriminante cuadrado garantiza dos raíces racionales, lo que a su vez garantiza una factorización limpia sobre los enteros.

3. 3

   Sustituye en la fórmula general.

   $x=\frac{-98\pm 122}{2\cdot 40}=\frac{-98\pm 122}{80}$

   Las dos ramas se reducen ahora a fracciones sencillas en lugar de decimales.

4. 4

   Simplifica cada raíz.

   $x=\frac{-98+122}{80}=\frac{24}{80}=\frac{3}{10},\qquad x=\frac{-98-122}{80}=\frac{-220}{80}=-\frac{11}{4}$

   Simplifica siempre: $24/80$ y $-220/80$ esconden los dos un factor común.

5. 5

   Lee la factorización y verifica. Las raíces $3/10$ y $-11/4$ corresponden a los factores $(10x-3)$ y $(4x+11)$, y sus coeficientes principales multiplicados dan $10\cdot 4=40$:

   $(10x-3)(4x+11)=40x^2+110x-12x-33=40x^2+98x-33$

   El término central se reconstruye como $98x$, de modo que quedan confirmadas tanto las raíces como la forma factorizada.