Descomponer x/(x − 2)² en fracciones parciales.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe el numerador en términos de la base del denominador. El denominador está construido con $x-2$, así que expresa $x$ usando ese mismo bloque:

   $x=(x-2)+2$

   Esto es una identidad, así que no se ha supuesto nada: simplemente reorganiza el numerador.

2. 2

   Sustituye y separa la fracción única en dos.

   $\frac{x}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+2}{(x-2)^2}=\frac{x-2}{(x-2)^2}+\frac{2}{(x-2)^2}$

3. 3

   Cancela en la primera fracción. Se va un factor $(x-2)$:

   $\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}$

   $\frac{x}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^2},\qquad x\neq 2$

4. 4

   Compáralo con el método algebraico. Plantear $\tfrac{x}{(x-2)^2}=\tfrac{A}{x-2}+\tfrac{B}{(x-2)^2}$ da $x=A(x-2)+B$, así que $A=1$ y $B=2$: la misma respuesta. El truco del numerador llega a ella en una sola línea y conviene reconocerlo siempre que el numerador sea lineal y el denominador sea un factor lineal repetido.

5. 5

   Comprueba numéricamente. En $x=4$: izquierda $=\tfrac44=1$, derecha $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$. En $x=0$: izquierda $=0$, derecha $=-\tfrac12+\tfrac24=0$ $\checkmark$.